Arsip Tag: Momen Inersia

Contoh Perhitungan Momen Inersia

Posted on by oerlee syafroe

Contoh perhitungan momen inersia balok girder jembatan.

Diketahui penampang balok girder jembatan seperti gambar di bawah ini.
Kita akan mencoba menghitung momen inersia penampang balok tersebut.

Penampang balok girder
Penampang balok girder

Ayo kita simak langkah-langkahnya.

1. Membagi bentuk penampang. Penampang bentuknya menyerupai huruf I tersebut kita bagi menjadi bagian-bagian kecil yang berbentuk persegi atau segitiga. Kenapa harus persegi atau segitiga? Karena bentuk persegi dan segitiga adalah bentuk dasar yang formula momen inersianya mudah diingat dan letak titik beratnya juga sudah diketahui.

Sekedar pengingat saja, untuk persegi, momen inersia I_{xx} -nya adalah = \dfrac{bh^3}{12} , dan lokasi titik beratnya ada pada seperdua lebar dan seperdua tinggi persegi.

Sementara untuk segitiga (siku-siku), momen inersia I_{xx} = \dfrac{bh^3}{36} , dan lokasi titik beratnya ada pada sepertiga lebar dan sepertiga tinggi segitiga.

Pembagian penampang (satuan dalam cm)
Pembagian penampang

2. Menentukan sumbu koordinat. Sumbu koordinat di sini bukanlah titik berat penampang. Sumbu koordinat adalah titik acuan untuk memudahkan kita menentukan lokasi titik berat nantinya. Lokasi yang umum digunakan adalah pojok kiri bawah penampang.

Ada juga yang kadang menggunakan pojok kiri atas sebagai pusat sumbu koordinat.

Dari sumbu koordinat ini, kita dapat menarik garis-garis titik berat masing-masing sub bagian penampang.

Posisi titik berat sub penampang
Posisi titik berat sub penampang

3. Menghitung dengan tabel.
Cara perhitungan yang paling efektif adalah dengan menggunakan tabel. Tabel pertama untuk menentukan letak garis netral \bar{y} .

i A_i(\text{cm}^\text{2}) y_i(\text{cm}) A_iy_i
1 50 \times 20 = 1000 120-0.5\times 20 = 110 100 \times 110 = 110000
2 20 \times 50 = 1000 20+20+0.5\times 50 = 65 100 \times 65 = 65000
3 60 \times 20 = 1200 0.5 \times 20 = 10 120 \times 10 = 12000
4 \dfrac12 \times 15 \times 10 = 75 120-20-\dfrac13\times 10 = 96.67 75 \times 96.67 = 7250
5 \dfrac12 \times 15 \times 10 = 75 120-20-\dfrac13\times 10 = 96.67 75 \times 96.67 = 7250
6 \dfrac12 \times 20 \times 20 = 200 20+\dfrac13\times 20 = 26.67 200 \times 26.67 = 5333.33
7 \dfrac12 \times 20 \times 20 = 200 20+\dfrac13\times 20 = 26.67 200 \times 26.67 = 5333.33
\Sigma A_i = 3750 \, cm^2 \Sigma A_iy_i = 212166.67 \, cm^3

Sehingga,
\bar{y} = \dfrac{\Sigma A_iy_i}{\Sigma A} = 56.578 \, cm

Posisi titik berat penampang
Posisi titik berat penampang

Tabel berikutnya perhitungan momen inersia.

i \delta y_i=y_i-\bar{y} A_i \delta y_i^2 I_{xi}
1 110-56.578=53.422 1000 \times 53.422^2 =2853934 \dfrac{50\times 20^3}{12}=33333.33
2 65-56.578=8.422 1000 \times 8.422^2 =70933.8 \dfrac{20\times 50^3}{12}=208333.33
3 10-56.578=-46.578 1200 \times (-46.578)^2 =2603387 \dfrac{60\times 20^3}{12}=40000
4 96.667-56.578=40.089 75 \times 40.089^2 =120533.9 \dfrac{15\times 10^3}{36}=416.67
5 96.667-56.578=40.089 75 \times 40.089^2 =120533.9 \dfrac{15\times 10^3}{36}=416.67
6 26.667-56.578=-29.911 200 \times (-29.911)^2 =178934.9 \dfrac{20\times 20^3}{36}=4444.44
7 26.667-56.578=-29.911 200 \times (-29.911)^2 =178934.9 \dfrac{20\times 20^3}{36}=4444.44
\Sigma A_i \delta y_i^2 =6127192.6 \Sigma I_{xi}=291388.9

Sehingga,
\begin{array}{rl} I_{xx} &= \Sigma I_{xi} + \Sigma A_i \delta y_i^2 \\\\ &= 291388.9 + 6127192.6 \\\\ &= 6418581.5 \, cm^4 \end{array} .

Jika kita menggunakan MS Excel, kita dapat menyusun tabel kedua di sebelah kiri tabel pertama. Di sini kami tulis terpisah karena keterbatasan ruang. Kira-kira seperti ini bentuk tabel jika dihitung menggunakan MS Excel.

Tabel perhitungan momen inersia pada MS Excel
Tabel perhitungan momen inersia pada MS Excel

Bagaimana dengan momen inersia terhadap sumbu y? Silahkan mencoba sendiri. Kalau perhitungan saya tidak salah, hasilnya adalah 757291.7 \text{cm}^\text{4} .

Semoga bermanfaat.[]

sumber dari : http://duniatekniksipil.web.id/840/contoh-perhitungan-momen-inersia/#more-840

Momen Inersia Segitiga

Posted on by oerlee syafroe

gambar_19527_image001Menghitung Momen Inersia Segitiga

Setelah membahas perhitungan momen inersia bentuk persegi, kali ini kita akan coba hitung sendiri momen inersia segitiga, soalnya bentuk ini juga merupakan bentuk geometri dasar yang banyak digunakan.

Khusus untuk structural engineering, bentuk penampang segitiga mungkin sangat jarang digunakan untuk dijadikan penampang elemen struktur. Bentuk trapesium sendiri bisa dikatakan gabungan dari lebih dari satu penampang persegi dan atau penampang segitiga.

Trapesium sebagai bentuk gabungan segitiga-segitiga

Penampang balok jembatan biasanya paling banyak menggunakan bentuk-bentuk gabungan persegi dan segitiga.

Penampang balok girder jembatan

Sementara bentuk segitiga terpancung, bisa kita lihat pada salah satu pondasi tipe minipile (pondasi tiang pancang yang ukurannya penampangnya relatif kecil).

Pondasi minipile penampang segitigaPondasi minipile penampang segitiga

Momen Inersia Segitiga

Bentuk dasar segitiga secara umum bisa digambarkan sebagai segitiga siku-siku. Bentuk-bentuk segitiga yang lain bisa diturunkan dari penggabungan atau pengurangan dua atau lebih segitiga siku-siku.

gambar_19527_image002

Kembali ke bentuk dasar, segitiga siku-siku dapat dikatakan mempunyai dua variabel utama, panjang alas b , dan tinggi h .

Ada dua cara menentukan persamaan momen inersia segitiga, yang pertama dengan cara menentukan momen inersia langsung di sumbu titik berat segitiga, dan yang kedua melalui transformasi momen inersia dari luar sumbu titik berat.

A. Cara I

gambar_19527_image005

Kami rasa kita tidak perlu bersusah payah mencari lokasi titik berat segitiga, soalnya sudah jadi rahasia umum kalau titik berat segitiga selalu berada pada sepertiga lebar alas dan sepertiga tinggi.

Kita akan menentukan formula momen inersia terhadap sumbu x ( I_{xx} ).
Selanjutnya kita ikuti prosedur di bawah:

  1. Tentukan lokasi garis berat sejajar sumbu x.
  2. Buat elemen dA pada jarak tertentu dari sumbu x, katakanlah jaraknya adalah y . Elemen dA tersebut mempunyai lebar b_y dan tinggi dy
    gambar_19527_image006
  3. dA = b_y dy
  4. Besarnya b_y berbeda-beda untuk setiap nilai y .
    Jika y = - \dfrac{h}{3} , maka b_{y=\frac{-h}{3}} = b .
    Jika y = \dfrac{2h}{3} , maka b_{y=\frac{2h}{3}} = 0 .
    Sehingga bisa dituliskan,
    \begin{array}{rl} \dfrac{b_y - b}{0 - b} &= \dfrac{y - \frac{-h}{3}}{\frac{2h}{3} - \frac{-h}{3}} \\ \\ b_y &= b - b \big( \dfrac{y + \frac{h}{3}}{h} \big) \\ \\ &= b - \dfrac{by}{h} - \dfrac{b}{3} \\\\ b_y &= b ( \dfrac23 - \dfrac{y}{h}) \end{array}
  5. Momen inersia I_{xx}
    \begin{array}{rl} I_{xx} &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 \, \text{d}A \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 b_y \, \text{d}y \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 b \big( \dfrac23 - \dfrac{y}{h} \big) \text{d}y \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} \dfrac{2b}{3}y^2 - \dfrac{b}{h} y^3 \text{d}y \\\\ &= \dfrac{2b}{9}y^3 - \dfrac{b}{4h} y^4 \bigg|_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} \\\\ &= \dfrac{2b}{9} \bigg( \big( \dfrac{2h}{3} \big)^3-\big(\dfrac{-h}{3} \big)^3 \bigg) - \dfrac{b}{4h} \bigg( \big( \dfrac{2h}{3} \big)^4 - \big(\dfrac{-h}{3}\big)^4 \bigg) \\\\ &= \dfrac{2b}{9} \big( \dfrac{8h^3}{27} + \dfrac{h^3}{27} \big) - \dfrac{b}{4h} \big( \dfrac{16h^4}{81} - \dfrac{h^4}{81} \big) \\\\ &= \dfrac{2bh^3}{27} - \dfrac{5bh^3}{108} \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{36} \end{array}

Jadi, momen inersia segitiga terhadap garis beratnya adalah I_{xx} = \dfrac{bh^3}{36}

B. Cara II

Cara kedua ini relatif lebih mudah daripada cara yang pertama. Jika cara pertama menggunakan garis berat sebagai sumbu acuan, kali ini kita akan menggunakan alas segitiga sebagai sumbu acuan.

gambar_19527_image007

Kita hitung dulu momen inersia terhadap alas segitiga di atas.

  1. Prosedurnya hampir sama dengan cara I, namun yang membedakan adalah batas atas dan batas bawah pengintegralan. Pada cara yang kedua ini, batas atasnya adalah y = h , dan batas bawahnya adalah y = 0 .
  2. Menentukan b_y .
    b_y = b-\dfrac{b}{h}y
  3. Hitung momen inersia I_{x}
    \begin{array}{rl} I_x &= \int_0^h y^2 \, \text{d}A \\\\ &= \int_0^h y^2 b_y \, \text{d}y \\\\ &= \int_0^h y^2 \big(b-\dfrac{b}{h}y\big) \, \text{d}y \\\\ &= \int_0^h by^2-\dfrac{b}{h}y^3 \\\\ &= \dfrac{b}{3}y^3 - \dfrac{b}{4h}y^4 \bigg|_0^h \\\\ &= \dfrac{bh^3}{3} - \dfrac{bh^3}{4} \\\\ I_x &= \dfrac{bh^3}{12} \end{array}
  4. Momen inersia di atas bukan momen inersia terhadap sumbu penampang. Jika ingin menentukan momen inersia pada sumbu penampang, I_{xx} , maka kita gunakan formula transformasi momen inersia:
    I_x = I_{xx} + A\bar{y}^2 , dimana \bar{y} = \frac{h}{3}
  5. Menghitung momen inersia terhadap sumbu netral:
    \begin{array}{rl} I_x &= I_{xx} + A\bar{y}^2 \\\\ \dfrac{bh^3}{12} &= I_{xx} + \big( \dfrac{bh}{2} \big) \big( \dfrac{h}{3} \big)^2 \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{12} - \dfrac{bh^3}{18} \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{36} \end{array}

So,.. kesimpulannya.. untuk segitiga, I_{xx} = \dfrac{bh^3}{36} .[]

Menghitung Momen Inersia

Posted on by oerlee syafroe

Momen inersia penampang adalah salah satu parameter geometri yang sangat penting dalam analisis struktur. Untuk penampang yang beraturan, seperti persegi, formula untuk menghitung momen inersia \dfrac{bh^3}{12} saya yakin kita sudah hapal di luar kepala, bahkan sambil merem juga bisa.

Formula nenek moyang dari momen inersia terhadap sumbu x adalah:

I_x = \int y^2 \, dA

Kalo untuk sumbu y, yaa tinggal ditukar aja.. y menjadi x, x menjadi y.. gitu aja kok repot. :)

I_y = \int x^2 \, dA Dari formula dasar itulah kita bisa menurunkan formula momen inersia untuk bentuk geometri apapun!

Bentuk Persegi

17-momen-inersia-11

Persegi di atas berukuran b \times h , dengan sumbu x terletak pada sumbu netral atau garis berat. Berdasarkan formula dasar I_x = \int y^2 \, dA , maka kita harus meninjau sebuah elemen kecil \, dA . Elemen ini mempunyai ukuran \, dx dan \, dy . Sehingga bisa kita tuliskan

dA = \, dx \cdot \, dy

Jika kita kumpulkan semua elemen \, dA yang mempunyai nilai y yang sama, maka elemen \, dA , kini menjadi

d A = b \cdot \, dy , sehingga

I_x = \int by^2 \, dy

Karena b bernilai konstan untuk setiap nilai y , kita keluarkan saja b dari kurungan cacing tersebut,

I_x = b \int y^2 \, dy

Sekarang, tinggal menentukan batas atas dan batas bawah dari \, dy . Berdasarkan gambar di atas, maka batas bawahnya adalah -h/2 dan batas atas adalah h/2 . Sehingga

I_x = b \int_{\frac{-h}{2}}^{\frac{h}{2}} y^2 \, dy

Kalau diselesaikan,

I_x \quad = b \cdot \dfrac{y^3}{3} \bigg|_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}

I_x \quad = b \bigg[ (\dfrac{h/2}{3})^3 - (\dfrac{-h/2}{3})^3 \bigg]

I_x \quad = b (\dfrac{h^3}{24} - \dfrac{-h^3}{24})

I_x \quad = \dfrac{bh^3}{12}

Wow.. itu kan rumus tutup mata yang tadi udah digosipkan di atas!!

Bagaimana Dengan Momen Inersia Terhadap Bukan Sumbu Netral?

Pertanyaan bagus!! (!?.. yang nanya siapa.. yang jawab siapa…)

17-momen-inersia-2

Misalnya, pada gambar di atas, kita mau menentukan I_x tapi sumbu x-x tidak pada garis berat, melainkan seperti pada gambar.

Kembali lagi ke rumus nemoy (nenek moyank)…

I_x = \int y^2 \, dA , jika dilanjutkan kira-kira akan seperti ini

I_x \quad = \int y^2 b \, dy

I_x \quad = b \int_0^h y^2 \, dy

Stop dulu… (hening)

Kalo diperhatikan… batas bawah dan batas atas integralnya… berbeda..!.

I_x \quad = b \cdot \dfrac{y^3}{3} \big |_0^h

I_x \quad = \dfrac{bh^3}{3}

Hohoho… ternyata nilainya lebih besar daripada I_x terhadap sumbu netral.

Coba kita geser lebuh jauh lagi ke atas. Lihat gambar di bawah.

17-momen-inersia-3

Mulai dari rumus dasar:

I_x = \int y^2 \, dA

Trus… catat: batas bawah = y_o , dan batas atas = y_o + h

\begin{array}{rl} I_x &= \int_{y_o}^{y_o+h} by^2 \, dy\\ \\ &= b \cdot \dfrac{y^3}{3} \bigg|_{y_o}^{y_o+h} \\ \\ &= \dfrac{b}{3} \cdot \big[ (y_o + h)^3 - y_o^3 \big] \\ \\ &= \dfrac{b}{3} (y_o^3 + 3y_o^2h + 3y_oh^2 + h^3 - y_o^3) \\ \\ &= \dfrac{b}{3} \big[3y_oh (y_o + h) + h^3 \big] \\ \\ I_x &= \dfrac{bh^3}{3} + by_oh(y_o+h) \end{array}

Hmm.. dimodif dikit boleh nggak?… Kita mau paksain ke bentuk nenek moyang.. \dfrac{bh^3}{12} . Bijimana caranya?.. simak terus.

\begin{array}{rl} I_x &= \dfrac{4bh^3}{12} + by_oh(y_o+h) \\ \\ &= \dfrac{bh^3}{12} + \dfrac{3bh^3}{12} + by_o^2h + by_oh^2 \\ \\ &= \dfrac{bh^3}{12} + \dfrac{bh^3}{4} + by_o^2h + by_oh^2 \\ \\ &= \dfrac{bh^3}{12} + bh( \dfrac{h^2}{4} + y_o^2 + y_oh) \\ \\ &= \dfrac{bh^3}{12} + bh{(y_o + \dfrac{h}{2} )}^2 \end{array}

17-momen-inersia-4

Nah… udah kelihatan. bh itu kan tidak lain adalah luas persegi, sementara y_o+\dfrac{h}{2} adalah jarak titik berat ke sumbu momen inersia!.. atau kalo menurut gambar di atas y_o + \dfrac{h}{2} = y .

Secara umum bisa dituliskan:

I_x = I_{ox} + Ay^2

dimana,

I_x adalah momen inersia terhadap sumbu x tertentu

I_{ox} adalah momen inersia terhadap sumbu netral (garis berat)

A adalah luas bangun/penampang

y adalah jarak dari titik berat ke sumbu momen inersia yang dicari.

Catatan : untuk tinjauan sumbu-y… tinggal ditukar aja kok.. x jadi y, y jadi x.. :)

Udah ah… ntar disambung lagi.. yang penting kalo udah tau konsep ini, penampang apa pun bisa kita cari momen inersianya..

Penting nggak? Ya penting lah.. soalnya tidak mustahil dalam desain maupun analisis elemen struktur, kita akan menemukan bentuk penampang yang tidak lazim… misalnya profil baja yang ukurannya tidak ada di dalam tabel. :) []