Matematika


KATA PENGANTAR

Puji syukur kita panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan nikmat, taufik, serta hidayahnya kepada kita semua, sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah yang merupakan Tugas Akhir mata kuliah Filsafat Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam semester ini.

Tak lupa saya mengucapkan terima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa serta Sri Sudaryati, M.Pd selaku dosen mata kuliah Filsafat MIPA, dan rekan-rekan yang telah membantu saya dalam menyelesaikan makalah ini walaupun tidak terlibat langsung.

Akhirnya tiada gading yang tak retak, tidak ada kesempurnaan tanpa adanya perbaikan, untuk itu kepada rekan-rekan serta Ibu Sri dan juga semua pihak, saya mengharapkan dan selalu menerima kritik dan saran dengan tangan terbuka. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita dan dunia pendidikan.

Jakarta, Juni 2008

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR………………………………………………………………………………..1

DAFTAR ISI……………………………………………………………………………………………..2

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah………………………………………………………………….3

1.2 Perumusan Masalah………………………………………………………………………..4

1.3 Tujuan Penulisan……………………………………………………………………………4

1.4 Metode Penulisan…….…………………………………………………………………….4

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Filsafat dan Matematika………………………………………………….5

2.1.1 Pengertian Filsafat…………………………………………………………………….5

2.1.2 Pengertian Matematika………………………………………………………………6

2.2 Hubungan Matematika dengan Filsafat……………………………………………..8

2.3 Peranan Matematika Dalam Filsafat ( Komunikasi Pemikiran

Keilmuwan)………………………………………………………………8

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan………………………………………………………………………………….14

DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………………………….16

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Dalam komunikasi pemikiran keilmuan, matematika memainkan dua peranan, yakni :

a. Sebagai raja, matamatika merupakan bentuk logika paling tinggi yang pernah diciptakan oleh pemikiran manusia. Logika ini dilukiskan dalam bentuk sistem simbolis dari kegiatan pemikiran serta struktur yang teratur dari teori bilangan dan ruang.

b. Sebagai pelayan, matematika menyediakan bagi ilmu-ilmu yang lainnya, bukan saja sistem logikanya tetapi juga model matematis dari berbagai segi kegiatan keilmuwan. Matematika dari model inilah yang dipergunakan untuk mengkomunikasikan hukum keilmuwan dan hipotesis.

Beberapa sifat yang penting memungkinkan matematika memegang peranan yang sangat penting dalam proses kegiatan keilmuwan. Sifat-sifat itu adalah sebagai berikut :

a. Matematika berhubungan dengan pernyataan yang berupa dalil dan konsekuensinya di mana pengujian kebenaran secara matematis akan dapat diterima oleh tiap orang yang rasional.

b. Matematika tidak bergantung kepada perubahan ruang dan waktu.

c. Matematika bersifat eksak dalam semua yang dikerjakannya meskipun dia mempergunakan data yang tidak eksak (merupakan perkiraan).

d. Matematika adalah logika deduktif yang mengubah pengalaman indera menjadi bentuk-bentuk yang diskriminatif.

Filsafat dan matematika tumbuh di bawah asuhan filsuf Yunani, Phytagoras yang mendirikan Mazhab Phytagoranisme di Crotona. Ia mengemukakan bahwa segenap gejala alam merupakan pengungkapan inderawi dari perbandingan-perbandingan matematis. Mazhab ini menyimpulkan bahwa bilangan merupakan intisari dan dasar pokok dari sifat-sifat benda.

Seorang filsuf besar dari Yunani kuno setelah Zeno menegaskan hubungan yang amat erat antara matematika dan filsafat adalah Plato. Ia menegaskan bahwa geometri sebagai pengetahuan ilmiah yang berdasarkan akal murni menjadi kunci ke arah pengetahuan dan kebenaran kebenaran filsafat. Menurut Plato, geometri merupakan suatu ilmu dengan akal murni membuktikan proporsi-proporsi abstrak mengenai hal-hal abstrak seperi garis lurus, segitiga atau lingkaran.

1.2 Perumusan Masalah

1. Apakah pengertian dari filsafat dan matematika?

2. Apakah hubungan filsafat dengan matematika?

3. Apakah peranan matematika dalam filsafat?

1.3 Tujuan Penulisan

Tujuan dalam penulisan makalah ini adalah untuk menambah pengetahuan dan diharapkan bermanfaat bagi kita semua.

1.4 Metode Penulisan

Penulis memergunakan metode observasi. Dalam metode ini penulis membaca buku dan artikel yang berkaitan dengan penulisan makalah ini.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Filsafat dan Matematika

2.1.1 Pengertian Filsafat

Kata ‘filsafat’ berasal dari bahasa Yunani, yaitu ‘philosophia’ . Kata philosophia merupakan gabungan dari dua kata yaitu philos dan sophia. Philos berarti sahabat atau kekasih, sedangkan sophia memiliki arti kebijaksanaan, pengetahuan, kearifan. Dengan demikian maka arti dari kata philosophia adalah cinta pengetahuan. Plato dan Socrates dikenal sebagai philosophos (filsuf) yaitu orang yang cintai pengetahuan.

Filsafat adalah pikiran manusia yang radikal, artinya mengesampingkan pendirian-pendirian dan pendapat-pendapat “yang diterima saja” mencoba memperlihatkan padangan yang merupakan akar dari lain-lain pandangan dan sikap praktis. Jika filsafat misalnya berbicara tentang masyarakat, hukum, sosiologi, kesusilaan dan sebagainya, di situ pandangan tidak diarahkan kepada sebab-sebab yang terdekat (secundary causes) melainkan ke “mengapa” yang terakhir (fist causes), sepanjang kemungkinan yang ada pada budi manusia berdasarkan kekuatannya. Filsafat mencari jawaban atas pertanyaan-pertanyaan yang dihadapinya dengan berpangkalan pada manusia itu sendiri atau pikiran manusia itu sendiri. Jadi :

a. Objek filsafat adalah segala sesuatu yang ada.

b. Sudut pandangannya adalah sebab-sebab yang terdalam.

c. Sifat filsafat adalah sifat-sifat ilmu pengetahuan.

d. Jalannya filsafat dalam usaha mencari jawaban-jawaban dengan berdasarkan

kekuatan pikiran manusia atau budi murni dan tidak berdasarkan Wahyu

Allah atau pertolongan istimewa dari agama/Tuhan.

e. Karakteristik berpikir filsafat adalah Menyeluruh, mendasar dan spekulatif.

Dan perlu untuk kita ingat bahwa kata filsuf (philosophos) dan filsafat (philosophia) ini baru menyebar luas setelah masa Aristoteles. Aristoteles sendiri tidak menggunakan istilah ini (philosophia atau philosophos) dalam literatur-literaturnya.

Setelah masa kejayaan romawi dan persia memudar, penggunaan istilah filsafat berikutnya mendapat perhatian besar dari kaum muslimin di arab. Kata falsafah (hikmah) atau filsafat kemudian mereka sesuaikan dengan perbendaharaan kata dalam bahasa arab, yang memiliki arti berbagai ilmu pengetahuan yang rasional.

2.1.2 Pengertian Matematika

Pengertian matematika sangat sulit didefinsikan secara akurat. Pada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmatika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung diperoleh dari bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, – 2, …, dst, melalui beberapa operasi dasar: tambah, kurang, kali dan bagi.

Akan tetapi, penulis mencoba memberikan pengertian dari matematika. Menurut bahasa kata “matematika” berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan, atau belajar” juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai “suka belajar”.

Sedangkan menurut istilah, apakah matematika itu? Pertanyaan ini jawabannya dapat brbeda-beda bergantung pada kapan pertanyaan itu dijawab, dimana dijawab, siapa yang menjawabnya dan apa sajakah yang dipandang termasuk dalam. Dengan demikian, untuk menjawab pertanyaan :Apakah matematika itu ? Untuk menjawabnya kita harus hati-hati. Karena itu berbagai pendapat muncul tentang pengertian matematika tersebut dipandang dari pengetahuan dan pengalaman masing-masing individu yang berbeda. Ada yang berpendapat bahwa matematika itu bahasa simbol,matematika itu adalah bahasa numrik, matematika itu adalah bahasa yang menghilangkan sifat kabur,majemuk, dan emosional, matematika adalah metode berpikir logis , matematika adalah saran berpikir, matematika adalah logika pada masa dewasa , matematika adalah ratunya ilmu dan sekaligus menjadi pelayannya, matematika adalah sains mengenai kuantitas dan besaran, matematika adalah sains yang bekerja menarik mkesimpulan-kesimpulan yang perlu, matematika adalah sains formal yang murni, matematika adalah sains yang memanipulsi simbol, matematika adalah ilmu tentang bilangan dan ruang, matematika adalah ilmu yang mempelajari hubungan pola, bentuk dan struktur , matematika adalah imu yang abstrak dan deduktif .

Selain itu juga, beberapa pendapat para ahli tentang matematika yang telah menyinggung muatan materi yang terdapat dalam ruang lingkup matematika dan karakteristik matematika itu sendiri, yakni :

a. James dan James, yang mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai bentuk,susunan, besaran dan konsep-konsep yang berhubungan lainnya dengan jumlah banyak yang terbagi kedalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis dan geometri.

b. Jhonson dan Rising bahwa matematika adalah pola berpikir,pola mengorganisasikan, pembuktian yang logik, matematika itu bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat, representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide daripada mengenai bunyi.

c. Reys mengatakan bahwa matematika adalah telaahan tentang pola dan hubungan , suatu jalan atau pola pikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat.

d. Kline mengatakan bahwa matematika bukanlah pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial , ekonomi dan alam.

Jadi dari seluruh pendapat para ahli di atas dapat disimpulkan bahwa adanya matematika itu karena kemampuan proses berpikir manusia tentang pengalaman permasalahan yang ditemui dan dipecahkan, yang kemudian pengalaman pemecahan masalah tersebut menjadi suatu yang terkonstruksi sebagai suatu konsep matematika yang kemudian dapat digunakan sebagai alat pemecahan masalah yang sama atau yang baru.

2.2 Hubungan Matematika dengan filsafat

Matematika dan filsafat memiliki hubungan yang erat :

a. Filsafat dan geometri ( suatu cabang matematik ) lahir pada masa yang sama,di tempat yang sama, dan dari ayah yang tunggal , yakni sekitar 640-546 sebelum Masehi, di Miletus ( terletak di pantai barat negara Turki sekarang ) dan dari pikiran seorang bernama Thales.

b. Matematik tidak pernah lahir dari filsafat, melainkan keduanya berkembang bersama-sama dengan saling memberikan persoalan-persoalan sebagai bahan masuk dan umpan balik.

c. Adanya hubungan timbal balik dan saling pengaruh antara filsafat dan matematik dipacu pula oleh filsuf Zeno dari Elea. Zeno memperbincangkan paradoks-paradoks yang bertalian dengan pengertian-pengertian gerak, waktu, dan ruang yang kemudian selama berabad-abad membingungkan para filsuf dan ahli matematik.

2.3 Peranan Matematika Dalam Filsafat ( Komunikasi Pemikiran

Keilmuwan)

Telah dijelaskan pada materi sebelumnya bahwa matematika memiliki dua peranan dalam komunikasi pemikiran keilmuwan, yaitu sebagai raja dan pelayan. Sebagai raja, matematika adalah bentuk dari cara berpikir deduktif yang memperlakukan obyek pemikiran yang abstrak. Matematika merupakan bentuk komunikasi yang hampir mendekati kesempurnaan dari segenap bentuk komunikasi yang ada. Matematika umpamanya mempunyai sistem bilangan dengan unsur-unsur 1, 2, 3, dan sebagainya. Lambang-lambang ini dihubungkan oleh hukum-hukum dasar dan langkah-langkah tertentu. Sebuah lambang mendapatkan arti lewat hubungan yang dibentuk oleh hukum-hukum dasar tersebut. Hubungan ini kemudian diperluas lewat pernyataan sebab akibat dalam bentuk : Jika ini…., maka itu….; dan jika p menyebabkan q, dan q menyebabkan r, maka p menyebabkan r.

Contoh yang sederhana dari bentuk komunikasi ini terlihat dalam tiap teorema ilmu ukur bidang. Umpamanya, , rumus sebuah lingkaran adalah L = 2. Apa yang dimaksudkan dengan luas, lingkaran, phi dan jari-jari adalah tak lebih dari pengertian yang tercakup oleh penggunaan logis dari kata-kata tersebut.(Sebenarnya, tak seorang pun yang pernah melihat luas, lingkaran, phi, atau pun jari-jari. Semua ini adalah abstraksi yang tak dapat terindera secara fisik ). Teorema seperti ini tak akan dapat disusun dengan jalan pengukuran bahkan dengan pengukuran sejuta lingkaran sekalipun. Tetapi rumus lingkaran tersebut dapat dibuktikan secara empiris Jika jari-jari lingkaran adalah r, maka Rumus Luas daerah lingkaran adalah :

L = r 2

Untuk membuktikan rumus luas daerah lingkaran dapat dilakukan pembuktian secara empiris. Pembuktian rumus luas daerah lingkaran secara empiris yang lazim dilakukan adalah dengan cara memotong-motong lingkaran sehingga menjadi juring-juring kemudian membentuknya menjadi persegipanjang atau jajargenjang. Sehingga rumus luas daerah lingkaran dapat diturunkan dari rumus luas daerah persegipanjang atau jajargenjang.

· Pembuktian Rumus Luas Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Persegipanjang

Lingkaran dipotong-potong menjadi 8 juring, dan salah satu juring dibagi dua sama menurut jari-jari. Selanjutnya disusun secara sigzag ke samping dengan menempelkan sisi jari-jari dari masing-masing juring sehingga mendekati terbentuk persegipanjang.

Jika rumus luas persegipanjang adalah :

L = panjang × lebar,

Maka diperoleh rumus luas lingkaran, yaitu :

L = keliling lingkaran × jari – jari lingkaran

= × ( × 2r) × r

= × r × r

L = r2

· Pembuktian Rumus Luas Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Jajargenjang

Lingkaran dipotong-potong menjadi 8 juring. Selanjutnya disusun secara sigzag ke samping dengan menempelkan sisi jari-jari dari masing-masing juring sehingga mendekati terbentuk persegipanjang.

Jika rumus luas jajargenjang adalah :

L = alas × tinggi,

Maka diperoleh rumus luas lingkaran, yaitu :

L = keliling lingkaran × jari – jari lingkaran

= × ( × 2r) × r

= × r × r

L = r2

Selain pembuktian dengan menurunkan rumus luas lingkaran dari persegipanjang dan jajargenjang, ternyata dapat juga diturunkan dari rumus luas bangun datar yang lainnya.Yakni dari rumus luas daerah segitiga, belahketupat dan trapesium.

· Pembuktian Rumus Luas Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Segitiga

Untuk membuktikan rumus luas lingkaran dengan menurunkan dari rumus luas segitiga, lingkaran dibagi menjadi juring-juring sebanyak 4, 9, 16, 25, 36, dst, atau sebanyak n2, kemudian disusun sedemikian rupa sehingga membentuk segitiga sama kaki. Berikut ini lingkaran yang dipotong menjadi 4 juring dan menjadi 16 juring. Susunan lingkaran yang memiliki 16 juring akan nampak jelas bahwa susunan tersebut membentuk segitiga sama kaki. Akan tampak sangat jelas jika lingkaran dipotong menjadi 36, 49, 64 juring, dan seterusnya. Segitiga sama kaki tersebut adalah bentukan 16 juring dari sebuah lingkaran. Keliling lingkaran = × 16 busur juring. Alas segitiga sama kaki = 4 busur juring = keliling. Sedangkan tinggi segitiga tersebut adalah terdiri dari 4 juring = 4 r. Sehingga Jika luas daerah segitiga adalah :

L = × alas × tinggi,

Maka luas bangun pada susunan 16 juring adalah :

L = × keliling × 4r

= × keliling × r

= × 2r × r

= r2, ( terbukti )

· Pembuktian Rumus Luas Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Belahketupat

Untuk membuktikan rumus luas lingkaran dengan menurunkan dari rumus luas belahketupat, lingkaran dibagi menjadi juring-juring sebanyak 2, 8, 18, 32, dst, atau sebanyak 2n2, kemudian disusun sedemikian rupa sehingga membentuk bangun belahketupat. Susunan lingkaran yang dipotong menjadi 8 juring dan menjadi 18 juring terlihat semakin jelas membentuk bangun belah ketupat. Akan lebih jelas lagi jika lingkaran dibagi lebih banyak lagi sebanyak 32, 50, 72, dst. Belahketupat yang akan dijelaskan adalah bentukan 16 juring dari sebuah lingkaran. Keliling lingkaran = × 16 busur juring. Diagonal 1 = 3 busur juring = keliling. Sedangkan tinggi belahketupat tersebut adalah terdiri dari 6 juring = 6 r. Sehingga Jika luas daerah belahketupat adalah :

L = × d1 × d2,

Maka luas bangun pada susunan 16 juring adalah :

L = × keliling × 6r

= × keliling × r

= × 2r × r

= r2,( terbukti )

· Pembuktian Rumus Luas Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Trapesium

Untuk membuktikan rumus luas lingkaran dengan menurunkan dari rumus luas trapesium, lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang dapat disusun satu tingkat, dua tingkat, tiga tingkat, dst. Jika juring-juring akan disusun satu tingkat, maka lingkaran dibagi menjadi juring sebanyak 3, 5, 7, 9, 11, atau (2n + 1). Jika juring-juring akan disusun dua tingkat, maka lingkaran dibagi menjadi juring sebanyak 8, 12, 16, 20, atau 4(n + 1). Jika juring-juring akan disusun tiga tingkat, maka lingkaran dibagi menjadi juring sebanyak 15, 21, 27, 33, atau 3(2n + 3). Kemudian disusun sedemikian rupa sehingga membentuk bangun trapesium sama kaki. Susunan lingkaran yang dipotong menjadi 8 juring dan disusun 2 tingkat dan menjadi 16 juring. Pada susunan lingkaran yang dipotong menjadi 16 juring terlihat semakin jelas membentuk bangun trapesium. Akan lebih jelas lagi jika lingkaran dibagi lebih banyak lagi. Trapesium tersebut adalah bentukan 8 juring dari sebuah lingkaran. Keliling lingkaran = × 16 busur juring. Sisi a = 3 busur juring = keliling. Sisi b = 5 busur juring = keliling. Sisi a + sisi b = keliling = keliling. Sedangkan tinggi trapesium tersebut adalah terdiri dari 2 juring = 2 r. Sehingga Jika luas daerah trapesium adalah :

L = × ( a + b ) × t,

Maka luas bangun pada susunan 16 juring adalah :

L = × (keliling × 2r)

= × keliling × r

= × 2r × r

= r2,( terbukti )

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Filsafat adalah pikiran manusia yang radikal, artinya mengesampingkan pendirian-pendirian dan pendapat-pendapat “yang diterima saja” mencoba memperlihatkan padangan yang merupakan akar dari lain-lain pandangan dan sikap praktis.

Sedangkan, adanya matematika itu karena kemampuan proses berpikir manusia tentang pengalaman permasalahan yang ditemui dan dipecahkan, yang kemudian pengalaman pemecahan masalah tersebut menjadi suatu yang terkonstruksi sebagai suatu konsep matematika yang kemudian dapat digunakan sebagai alat pemecahan masalah yang sama atau yang baru.

Dalam komunikasi pemikiran keilmuan, matematika memainkan dua peranan, yakni :

a. Sebagai raja, matamatika merupakan bentuk logika paling tinggi yang pernah diciptakan oleh pemikiran manusia. Logika ini dilukiskan dalam bentuk sistem simbolis dari kegiatan pemikiran serta struktur yang teratur dari teori bilangan dan ruang.

b. Sebagai pelayan, matematika menyediakan bagi ilmu-ilmu yang lainnya, bukan saja sistem logikanya tetapi juga model matematis dari berbagai segi kegiatan keilmuwan. Matematika dari model inilah yang dipergunakan untuk mengkomunikasikan hukum keilmuwan dan hipotesis.

Sebagai raja, matematika adalah bentuk dari cara berpikir deduktif yang memperlakukan obyek pemikiran yang abstrak. Matematika merupakan bentuk komunikasi yang hampir mendekati kesempurnaan dari segenap bentuk komunikasi yang ada.

Rumus lingkaran dapat dibuktikan secara empiris. Contohnya pada rumus lingkaran dapat diturunkan dari:

· Rumus Luas Daerah Segitiga

Jika lingkaran dibagi menjadi 16 juring, maka diperoleh rumus luas lingkaran dari rumus luas segitiga :

L = × alas × tinggi, maka

L = × keliling × 4r

= × keliling × r

= × 2r × r = r2, ( terbukti )

· Rumus Luas Daerah Belahketupat

Jika lingkaran dibagi menjadi juring, maka diperoleh rumus luas lingkaran dari rumus luas belahketupat :

L = × d1 × d2, maka

L = × keliling × 6r

= × keliling × r

= × 2r × r

= r2,( terbukti )

· Rumus Luas Daerah Trapesium

Jika lingkaran dibagi menjadi juring, maka diperoleh rumus luas lingkaran dari rumus luas belahketupat :

L = × ( a + b ) × t, maka :

L = × (keliling × 2r)

= × keliling × r

= × 2r × r

= r2,( terbukti )

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s