Menghitung Momen Insersia (2)


Sebenarnya saya lagi menyusun contoh perhitungan balok beton yang lengkap. Tapi karena kelamaan, mending saya lanjut saja sedikit artikel tentang momen inersia. Nulis ini nggak lama kok..🙂

Pada bagian sebelumnya, kita sudah mengetahui formula dasar momen inersia sebuah bangun datar terhadap sumbu netralnya

 I_x = \int y^2 dA

Kalo momen inersia terhadap sumbu yang BUKAN sumbu netral, formulanya adalah

 I_{x'} = I_x + Ay^2

Nah, kali ini kita coba bermain dengan bentuk persegi yang lebih kompleks. Salah satu bentuk persegi yang kompleks adalah bentuk profil baja WF sederhana. Saya sengaja pakai kata “sederhana” karena profil baja WF ini benar-benar tersusun dari bentuk dasar persegi. Sementara profil WF yang sebenarnya biasanya ada tambahan bentuk lengkung di daerah-daerah “ketiak” alias pertemuan pelat badan dan pelat sayap.

18-penampang-wf1

Pada gambar di atas, profil WF terdiri dari 3 bentuk persegi: 2 pelat sayap dan 1 pelat badan. Kedua pelat sayap simetris terhadap sumbu netral x-x. Berikut ini cara menghitung momen inersianya:

  1. Formula momen inersia,
     I_{xx} = \Sigma (I_{xi} + A_i{y_i}^2)
    Kita gunakan simbol  \Sigma dan indeks  i karena obyek penyusun bentuk WF tersebut lebih dari 1.
  2. Indeks-1 : pelat badan
    Lebar =  t_w
    Tinggi =  H-2t_f
    Titik pusat pelat badan berimpit dengan titik pusat WF (bisa dibuktikan), sehingga  y_1 = 0
     I_{x1} = \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12}
     A_1{y_1}^2 = 0 \\
  3. Indeks-2 : pelat sayap atas
    Lebar =  B
    Tinggi =  t_f
     y_2 = \dfrac{H}{2} - \dfrac{t_f}{2} = \dfrac12 (H-t_f)
     I_{x2} = \dfrac{B{t_f}^3}{12}
     A_2{y_2}^2 = Bt_f \cdot \big( \dfrac12 (H-t_f) \big) ^2 \quad= \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2
  4. Indeks-3 : pelat sayap bawah
    Lebar =  B
    Tinggi =  t_f
     y_3 = -(\dfrac{H}{2} - \dfrac{t_f}{2}) = -\dfrac12 (H-t_f)
     I_{x3} = \dfrac{B{t_f}^3}{12}
     A_3{y_3}^2 = Bt_f \cdot \big( -\dfrac12 (H-t_f) \big) ^2 \quad= \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2
    Nilainya sama dengan  I_{x2} .
  5. Nah.. tinggal dijumlahin semuanya…
     \begin{array}{rl} I_{xx} &= ( I_{x1} + A_1{y_1}^2) + ( I_{x1} + A_1{y_1}^2) + ( I_{x1} + A_1{y_1}^2) \\ \\ &= \big( \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12}) + 0 \big) + \big( \dfrac{B{t_f}^3}{12} + \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2 \big) + \big( \dfrac{B{t_f}^3}{12} + \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2 \big) \\ \\ I_{xx} &= \big( \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12} \big) + \big( \dfrac{Bt_f}{6} ({t_f}^2 + 3(H-t_f)^2 ) \big) \end{array}
  6. Itulah rumus momen inersia sumbu x-x alias  I_{xx} pada penampang baja WF sederhana.

Penyederhanaan

Setelah menimbang, mengingat, mempertimbangkan, beberapa hal.. saya coba memutuskan untuk membuat versi sederhana (baca : praktis) dari formula di atas. Rumus di atas memang susah dihapal sampe tujuh turunan!

Nah, kalo liat formula di atas, ada komponen  (H-2t_f) dan  (H-t_f) . Tinggi  H yang dihitung selalu tidak penuh, kadang dikurangi  2t_f dan kadang dikurangi  t_f . Saya (baca: kita) sih pengennya biar lebih enak dihitung,  H -nya dihitung full saja. Kenapa tidak? Kita lihat fakta di lapangan bahwa profil WF atau profil I, perbandingan antara tinggi  H dan tebal pelat sayap  t_f sebagian besar bernilai  30 \pm 4 .

Nah, untuk profil baja yang memenuhi perbandingan tersebut, saya coba melakukan trial-error (percobaan yang salah melulu..!!)😀 dan akhirnya mencoba membuat formula pendekatan yang lebih sederhana untuk menentukan momen inersia sebuah profil baja IWF.

 I_{xx} \approx \big( \dfrac{t_wH^3}{12} \big) + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.7H^2)

 \dfrac{H}{t_f} \approx 30 \pm 4

Faktor Ketiak

Kenyataannya lagi… pada profil baja baik itu profil baja yang hot-rolled maupun yang built-in, hampir selalu ada tambahan bentuk lengkungan di daerah ketiak yang mempunyai radius tertentu.

18-ketiak-wf

Untuk perhitungan eksaknya, tetap bisa dilakukan dan diturunkan formulanya, tapi belum di sini. Intinya adalah adanya tambahan ketiak tersebut membuat momen inersia yang sebenarnya (aktual) menjadi sedikit lebih besar daripada model sederhana di atas.

Oleh karena itu, penurunan rumus praktisnya pun sedikit dimodifikasi sbb:

 I_{xx} \approx \big( \dfrac{t_wH^3}{12} \big) + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.8H^2)

 \dfrac{H}{t_f} \approx 30 \pm 4

Bedanya cuma angka 2.7 dan 2.8. Angka 2.7 dipakai jika tidak ingin memperhitungkan faktor ketiak, dan sebaliknya 2.8 jika ingin memperhitungkan ketiak tersebut.

Contoh

Kita ambil salah satu profil baja WF dari tabel Gunung Garuda… (kok Gunung Garuda melulu??)… yaaa… soalnya itu yang paling populer di Indonesia… bukankah orang Indonesia memang suka yang “popularitasnya tinggi?”… (waaah.. mulai nyerempet nih). Yasud… kita ambil profil baja WF 300×150×6.5×9.

Berdasarkan tabel, momen inersia profil tersebut adalah  I_{xx} = 7210 cm^4 \quad = 7210\times 10^4 mm^4 .

Kita coba hitung-hitung pake formula eksak untuk model sederhananya

 H = 300mm \quad B = 150mm \quad t_w = 6.5mm \quad t_f = 9mm

 \begin{array}{rl} I_{xx} &= \big( \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12} \big) + \big( \dfrac{Bt_f}{6} ({t_f}^2 + 3(H-t_f)^2 ) \big) \\ \\ &= \big( \dfrac{6.5(300-2 \cdot 9)^3}{12} \big) + \big( \dfrac{150 \cdot 9}{6} (9^2 + 3(300-9)^2) \big) \\ \\ &= 12147291 + 225 \cdot 254124 \\ \\ I_{xx} &= 6932.5 \times 10^4 mm^4 \end{array}

Ternyata, untuk WF300×150×6.5×9 tanpa ketiak, momen inersia  I_{xx} -nya adalah  6932.5 \times 10^4 mm^4

Atau.. kira-kira sekitar 96% dari momen inersia dari tabel.

Sekarang kita coba rumus praktisnya. Tapi coba cek dulu perbandingan tinggi dan tebal pelat sayapnya.

 \dfrac{H}{t_f} = \dfrac{300}{9} = 33.333 , OK!

Untuk yang tanpa ketiak (perbandingan terhadap hitungan eksak):

 \begin{array}{rl} I_{xx} &= \dfrac{t_wH^3}{12} + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.7H^2) \\ \\ &= \dfrac{6.5 \cdot 300^3}{12} + \dfrac{150 \cdot 9}{6} (9^2 + 2.7 \cdot 300^2) \\ \\ &= 14625000 + 225 \times 243081 \\ \\ I_{xx} &= 6931.8 \times 10^4 mm^4 \end{array}

Galat 0.01% terhadap hitungan eksak.

Sementara untuk rumus praktis dengan ketiak (perbandingan terhadap tabel):

 \begin{array}{rl} I_{xx} &= \dfrac{t_wH^3}{12} + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.8H^2) \\ \\ &= \dfrac{6.5 \cdot 300^3}{12} + \dfrac{150 \cdot 9}{6} (9^2 + 2.8 \cdot 300^2) \\ \\ &= 14625000 + 225 \times 252081 \\ \\ I_{xx} &= 7134.3 \times 10^4 mm^4 \end{array}

Galat 1% terhadap nilai dari tabel.

Nah,.. kalo ketemu profil baja WF yang properties-nya tidak ada di tabel, atau mungkin kebetulan kita lagi nggak punya tabel? Yaa.. tinggal hitung sendiri saja.. kan sudah ada formulanya dikasih di atas. Kalo susah ingat formulanya, kan sudah tau konsepnya…

 I_{xx} = \Sigma (I_{xi} + A_i{y_i}^2) .

Enak tho? Mantep tho??

Rahasia

Psst… ternyata formula praktis di atas juga berlaku untuk momen inersia x-x profil UNP… hihihi.

Epilog:

“paman kok pake istilah ketiak-ketiak sih.. kan jorok… ntar ta’laporin hansip lho paman..”

Waduh… jadi harus pake istilah apa dong??

Sumber dari: http://duniatekniksipil.web.id/461/menghitung-momen-insersia-2/

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s